Занятие 3
Инварианты
Работа по теме занятия
Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразования. В качестве инварианта чаще всего рассматривается четность ( нечетность) и остаток от деления. Хотя встречаются и другие стандартные инварианты: перестановки, раскраски и т. п. Причем применение четности – одна из наиболее часто встречающихся идей прирешении олимпиадных задач. Лемма 1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых. Например 1. Число 1 + 2 +…. + 10 –нечетное, так как в сумме 5 нечетных слагаемых. 2. Число 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 – четное, так как в сумме 6 нечетных слагаемых
Лемма 2. Знак произведения нескольких
(отличных от нуля) чисел определяется четностью количества отрицательных
сомножителей. Например 1. число (-1)· (-2) · (-3) ·
(-4) положительно, так как в произведении четное число отрицательных
сомножителей. 2. Число (-1) · 2 · (-3) · 4 · (-5) отрицательно, так как в
произведении нечетное число отрицательных сомножителей.
Учитель написал на листе бумаги число 10. 15 учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получится число 0?
На доске написано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа, и если они одинаковые, то допишите к оставшимся числам нуль, а если разные – то единицу. Какое число останется на доске?
Все костяшки домино выложены в цепь (по правилам домино). На одном конце цепи осталось 3 очка. Сколько очков на другом конце?
Квадрат 5 на 5 заполнен числами так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Доказать, что найдется столбец, в котором произведение чисел также отрицательно.
Устные упражнения
Какие часы показывают точное время: те, которые отстают на 1 минуту в день, или те, которые стоят?
На дереве сидело 20 ворон. Охотник выстрелил и убил двух ворон. Сколько ворон осталось на дереве?
Математик, оказавшись в небольшом городке, решил подстричься. В городке было лишь две парикмахерских. Заглянув к одному мастеру, он увидел, что в салоне грязно, сам мастер одет неряшливо, плохо выбрит и небрежно подстрижен. В салоне второго мастера все было чисто, а сам владелец был безукоризненно одет, чисто выбрит и аккуратно подстрижен. Тем не менее, математик отправился стричься к первому парикмахеру. Почему?
Самостоятельная работа
Можно ли разменять купюру достоинством 50 рублей с помощью 15 монет достоинствам 1 и 5 рублей?
Конь вышел с поля а1 шахматной доски и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.
2006 человек выстроились в шеренгу. Всегда ли можно их расставить по росту, если за один ход разрешается переставлять только 2 людей, стоящих через одного?
16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них разложить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?
Домашнее задание
На столе стоят 6 стаканов. Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?
Мише учитель математики поставил в дневник отметку «2». Миша, желая скрыть от мамы данный факт, порвал свой дневник на 4 части. Этого ему показалось мало, поэтому некоторые из этих частей (может быть, и не все) он порвал на 4 части и так далее. Мама нашла 2 «кусочков» дневника. Все ли куски нашла мама?